カルダノの公式その1 - 数式で独楽する

カルダノの公式とは、3次方程式の解を求める公式です。

カルダノの公式
3次方程式
\begin{equation}
x^3 +px +q = 0 \tag{1}
\end{equation}の解の一つは
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}と表すことができます。

任意の3次方程式は、適切な変換により、式(1)の形にすることができます。
3次方程式の一般形 - 数式で独楽する

式(1)を
\begin{equation}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz = (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx) \tag{2}
\end{equation}の形にするために、
x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
p &=& -3yz \tag{3} \\
q &=& y^3 +z^3 \tag{4}
\end{eqnarray}とします。 $y,z$ を $p,q$ で表すことができると、式(1)の解を求めることができます。
なお、
$q=0$ なら2次方程式に帰結できます。
$p=0$ なら $x =y, \ \omega y, \omega^2 y$ と容易です。*1

式(3)より
\begin{equation}
y = -\frac{p}{3z}
\end{equation}で、式(4)に代入して
\begin{equation}
q = -\left( \frac{p}{3} \right)^3 \frac{1}{z^3} +z^3
\end{equation}となります。
両辺に $z^3$ を掛けて整理すると、
\begin{equation}
z^6 -qz^3 -\left( \frac{p}{3} \right)^3 = 0
\end{equation}より
\begin{eqnarray}
z^3 &=& \cfrac{q \pm \sqrt{q^2 +4\left( \cfrac{p}{3} \right)^3}}{2} \\
&=& \frac{q}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{5'}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、
\begin{equation}
z = \sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \tag{5}
\end{equation}が得られます。

式(5)を式(4)に代入すると、
\begin{eqnarray}
q &=& y^3 +\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \\
y^3 &=& \frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \tag{6'}
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
y = \sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \tag{6}
\end{equation}を得ます。ここまで複号は同順です。

一方、式(3), (4)を用いると、式(1)は
\begin{equation}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz =0
\end{equation}を解けばよいことになります。
式(2)を用いて左辺を因数分解すると
\begin{equation}
(x +y +z)(x^2 +y^2 +z^2 -xy -yz -zx) = 0
\end{equation}となり、
\begin{equation}
x = -y -z \tag{7}
\end{equation}または
\begin{equation}
x^2 -(y +z)x y^2 +z^2 -yz = 0 \tag{8}
\end{equation}が成り立ちます。

式(7)に式(5), (6)を代入すると、
\begin{eqnarray}
x &=& -\sqrt[3]{\frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3}} -\sqrt[3]{\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3}} \\
&=& \sqrt[3]{-\frac{q}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} \mp \sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{eqnarray}となります。
複号は同順なので、どちらを採っても
\begin{equation}
x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } +\sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{equation}を得ます。

一方、式(8)を解くと、
\begin{eqnarray}
x &=& \frac{y +z \pm \sqrt{(y +z)^2 -4(y^2 +z^2 -yz)}}{2} \\
&=& \frac{1}{2} \, (y +z) \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \, (y -z) \, i
\end{eqnarray}ですが、
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 +\sqrt{3}i}{2}
\end{equation}を用いると
\begin{equation}
x = -\omega y -\omega^2 z, \ -\omega^2 y -\omega z
\end{equation}となります。

以上より、 $x^3 +px +q =0$ の解
\begin{eqnarray}
x &=& -y -z, \ -\omega y -\omega^2 z. \ \omega^2 y -\omega z \\
&& y = \sqrt[3]{\frac{q}{2} +\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ } \\
&& z = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} -\sqrt{ \left( \frac{q}{2} \right)^2 +\left( \frac{p}{3} \right)^3} \ }
\end{eqnarray}を得ます。