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\begin{array}{cccccc}
&& S & E & N & D \\
+ && M & O & R &E \\ \hline
& M & O & N & E & Y
\end{array}

有名な虫食い算です。
同じ文字には同じ数字、異なる文字には異なる数字が入ります。
重複はありません。

拘束条件を読み解きながら、文字に適切な数字を入れていくことによります。

第1段階

千の位のは繰り上がりのある足し算です。
したがって、しかあり得ません。

第2段階

千の位であり得る計算は次の通りです。
\begin{eqnarray}
S+1 &\geqq & 10 \tag{1} \\
S+1+1 &\geqq & 10 \tag{2}
\end{eqnarray}
式(1)は百の位で繰り上がりがない場合、
式(2)は百の位で繰り上がりがある場合です。
したがって、式(1), (2)より、
\begin{equation}
S = 8 \ または\ 9
\end{equation}となります。

第3段階

の場合、です。このとき、
\begin{array}{cccccc}
&& 8 & E & N & D \\
+ && 1 & 0 & R &E \\ \hline
& 1 & 0 & N & E & Y
\end{array}です。
百の位の繰り上がりが前提なので、
\begin{equation}
E + 0 + 1\geqq 10
\end{equation}です。
8が既に使われていることを考慮するとですが、このとき十の位の繰り上がりを考慮してもとなります。
0はで使われているため、不適です。

第4段階

次に、の場合を見ていきます。
\begin{array}{cccccc}
&& 9 & E & N & D \\
+ && 1 & O & R &E \\ \hline
& 1 & O & N & E & Y
\end{array}
このとき、千の位であり得る計算は、
\begin{eqnarray}
9 + 1 &=& 10 + O \\
9 + 1 + 1 &=& 10 + O
\end{eqnarray}のいずれかです。
よって、
\begin{equation}
O = 0 \ または\ 1
\end{equation}です。
既になので、です。

第5段階

これまでの結果を書くと、
\begin{array}{cccccc}
&& 9 & E & N & D \\
+ && 1 & 0 & R &E \\ \hline
& 1 & 0 & N & E & Y
\end{array}となります。
百の位に着目します。EとNは異なる数字です。必然的に十の位からの繰り上がりが前提となります。
\begin{equation}
E + 1 = N \tag{3}
\end{equation}また、十の位では、
\begin{equation}
N + R = 10 + E\ または \ N + R + 1 = 10 + E \tag{4}
\end{equation}となっています。
式(3)を式(4)に代入すると、
\begin{equation}
E + 1 + R = 10 + E \ または \ E + 1 + R +1 = 10 + E
\end{equation}となります。これより、
\begin{equation}
R = 9 \ または \ 8
\end{equation}となります。
既になので、です。
これより、式(3)を満たす式(4)は
\begin{equation}
N + 8 + 1 = 10 + E
\end{equation}となり、式(3)と同じになります。
一の位に着目すると、
\begin{equation}
D+E=10+Y \tag{5}
\end{equation}と、の拘束条件も得ることができます。

第6段階

ここまでの結果は、
\begin{array}{cccccc}
&& 9 & E & N & D \\
+ && 1 & 0 & 8 &E \\ \hline
& 1 & 0 & N & E & Y
\end{array}です。
拘束条件の式(3), (5)を用いれば、パターンをかなり絞ることができ、正誤を判定できるようになります。8, 9, 0, 1が使用済みであることも踏まえます。

E	N	D	Y	判定
2	3	8	0	NG
2	3	9	1	NG
3	4	7	0	NG
4	5	6	0	NG
4	5	7	1	NG
5	6	6	1	NG
5	6	7	2	OK
6	7	4	0	NG
6	7	5	1	NG
6	7	6	2	NG

これより、条件を満たすのは、
\begin{equation}
E=5, \ N=6, \ D=7, \ Y=2
\end{equation}のみだと分かります。

解答

よって、
\begin{array}{cccccc}
&& S & E & N & D \\
+ && M & O & R &E \\ \hline
& M & O & N & E & Y
\end{array}は、
\begin{array}{cccccc}
&& 9 & 5 & 6 & 7 \\
+ && 1 & 0 & 8 & 5 \\ \hline
& 1 & 0 & 6 & 5 & 2
\end{array}となります。