関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(q)
\end{equation}とします。
定数倍
\begin{equation}
h(x) = f(ax) \quad (a: \mbox{定数})
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \frac{1}{|a|}\hat{f} \! \left( \frac{q}{a} \right)
\end{equation}
定義にしたがって式を変形させていきます。
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(ax) \\
&=& \frac{1}{a} \int_{-\infty}^\infty d(ax) \, \exp \left( -\frac{iqax}{a} \right) \, f(ax) \tag{1}
\end{eqnarray}
の場合、
\begin{array}{|c|rrr|}
\hline
x & -\infty & \to & \infty \\ \hline
ax & -\infty & \to & \infty \\ \hline
\end{array}
なので、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \frac{1}{a}\hat{f} \! \left( \frac{q}{a} \right)
\end{equation}となります。
の場合、
\begin{array}{|c|rrr|}
\hline
x & -\infty & \to & \infty \\ \hline
ax & \infty & \to & -\infty \\ \hline
\end{array}
なので、積分区間を反転させて
\begin{equation}
\hat{h}(q) = -\frac{1}{a}\hat{f} \! \left( \frac{q}{a} \right)
\end{equation}となります。
まとめると、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \frac{1}{|a|}\hat{f} \! \left( \frac{q}{a} \right)
\end{equation}を得ます。
また、これより、
\begin{equation}
h(x) = f(-x)
\end{equation}の場合、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \hat{f} \! (q)
\end{equation}を得ます。
