京大 2007年理系第6問その2 - 数式で独楽する

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 $f(x)$ が $f(0)=0, \ f'(0)=1$ を満たし、さらに任意の実数 $a,b$ に対して $1 +f(a)f(b) \ne 0$ であって
\begin{equation}
f(a +b) = \frac{f(a) +f(b)}{1 +f(a)f(b)}
\end{equation}を満たしている。
(1) 任意の実数 $a$ に対して $-1 < f(a) < 1$ であることを証明せよ。
(2) $y = f(x)$ のグラフは $x > 0$ で上に凸であることを証明せよ。

小問(1)の解答例(承前)
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例(承前)

京大 2007年理系第6問その1 - 数式で独楽する

与えられた条件を満たす $f(x)$ は、
\begin{equation}
f(x) = \frac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}}
\end{equation}です。

\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \frac{(e^x +e^{-x})^2 -(e^x -e^{-x})^2}{(e^x +e^{-x})^2} \\
&=& \frac{4}{(e^x +e^{-x})^2} > 0
\end{eqnarray}任意の実数 $x$ に対して $f(x)$ は単調増加となります。
$f(x)$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & -\infty & \cdots & 0 & \cdots & \infty \\ \hline
f'(x) & 0 & + & 1 & + & 0 \\ \hline
f(x) & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
\end{array}
よって、
\begin{equation}
-1 < f(x) < 1
\end{equation}となります。
したがって、任意の実数 $a$ に対し、 $-1 < f(a) < 1$ であることが示されました。
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小問(2)の解答例

$x > 0$ のとき、
\begin{equation}
f''(x) = -\frac{8(e^x -e^{-x})}{(e^x +e^{-x})^2} < 0
\end{equation}です。
よって、 $y = f(x)$ のグラフは $x > 0$ で上に凸です。

解説

与えられた条件から関数を求めて、それを評価することになってしまいました。
条件の式は正接の加法定理に似た形をしています。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する

本設問の $f(x)$ は双曲線正接関数と呼ばれるもので、条件の式は加法定理そのものです。
\begin{eqnarray}
\cosh x &=& \frac{e^x +e^{-x}}{2} \\
\sinh x &=& \frac{e^x -e^{-x}}{2} \\
\tanh x&=& \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}}
\end{eqnarray}
双曲線関数 - 数式で独楽する