直線
が関数
のグラフと共有点をもたないために
が満たすべき必要十分条件を求めよ。
解答例
\begin{equation}
f(x) = \log x -px -q
\end{equation}とします。
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{x} -p
\end{equation}です。
(i) の場合
\begin{equation}
f'(x) > 0
\end{equation}です。
\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 0} f(x) &=& -\infty \\
\lim_{x \to \infty} f(x) &=& \infty
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
f(x) = 0
\end{equation}となるが存在します。
(ii) の場合
関数の増減は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1/p & \cdots & \infty \\ \hline
f'(x) && + & 0 & - \\ \hline
f(x) & -\infty & \nearrow && \searrow & -\infty \\ \hline
\end{array}
これより、となる
が存在しない条件は
\begin{equation}
f \left( \frac{1}{p} \right) = -\log p -1 -q < 0
\end{equation}となります。
以上より、が共有点をもたないための必要十分条件
\begin{equation}
p > 0 \quad \mbox{かつ} \quad -\log p -1 -q < 0
\end{equation}を得ます。
