紐の両端を持って垂らした時にできる線を、「懸垂線」といいます。
この懸垂線、実は双曲線関数になります。
次のように考えていきます。
線密度μ、長さ2sの紐の両端を、片側Tずつの力で吊るします。
鉛直上向きにy軸、水平方向をx軸とします。
紐の中央をx=0とします。
また、力Tとx軸の為す角をθとします。
紐はy軸で対称なので、で考えることができます。
このとき、x=0では負の方向にの力が紐にかかっていると見ることができます。
水平x方向の力の釣り合いは、
\begin{equation}
T \sin \theta = T_0 \tag{1}
\end{equation}です。
鉛直y方向の力の釣り合いは、
\begin{equation}
T \sin \theta = \mu sg \tag{2}
\end{equation}です。ここに、
\begin{eqnarray}
\frac{dy}{dx} &=& \tan \theta \tag{3} \\
ds &=& \sqrt{dx^2 + dy^2} \tag{4}
\end{eqnarray}です。
式(3)は、紐の傾きは力の方向と同じであることを表現しています。
式(4)は、微小区間における紐の長さを表しています。積分すると、紐の長さ(の半分)sです。
式(2)÷式(1)とし、式(3)を用います。
\begin{equation}
\frac{T_0}{\mu g} = a
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \tan \theta = \frac{s}{a} \tag{5}
\end{equation}となります。さらに式(4)を用いると、
\begin{equation}
ds = dx \sqrt{1 + \left( \frac{s}{a} \right)^2}
\end{equation}となります。
両辺を積分します。
\begin{equation}
\int \frac{ds}{\sqrt{1 + \left( \displaystyle \frac{s}{a} \right)^2}} = \int dx
\end{equation}積分を求めると、
\begin{equation}
a \sinh^{-1} \frac{s}{a} = x + C \quad (C:任意定数)
\end{equation}となります。*1
ここで、x=0のときs=0なので、C=0です。よって、
\begin{equation}
s = a \sinh \frac{x}{a}
\end{equation}を得ます。*2
式(5)に代入すると、
\begin{equation}
\frac{dy}{dx} = \sinh \frac{x}{a}
\end{equation}となります。両辺を積分すると、
\begin{equation}
y = a \cosh \frac{x}{a}
\end{equation}または
\begin{equation}
y = \frac{a(e^{x/a} + e^{-x/a})}{2}
\end{equation}を得ます。
なお、式を簡単にするため、x=0のときy=aとしています。
以上より、紐の両端を持って垂らした時にできる線は、双曲線関数になることを示すことができました。
*1:左辺の積分において \begin{equation} \frac{s}{a} = \sinh t \end{equation}と置くと、 \begin{eqnarray} \sqrt{1 + \left( \frac{s}{a} \right)^2} &=& \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \cosh t \\ \frac{ds}{a} &=& \cosh t \, dt \end{eqnarray}となるので、 \begin{eqnarray} \int \frac{ds}{\sqrt{1 + \left( \displaystyle \frac{s}{a} \right)^2}} &=& \int \frac{a \cosh t \, dt}{\cosh t} \\ &=& a \int dt \\ &=& at + C \quad (C: 任意定数) \end{eqnarray}となります。置き換えたtを元に戻して \begin{equation} \int \frac{ds}{\sqrt{1 + \left( \displaystyle \frac{s}{a} \right)^2}} = a \sinh^{-1} \frac{s}{a} + C \quad (C: 任意定数) \end{equation}を得ます。
*2: 式変形は次の通りです。 \begin{eqnarray} a \sinh^{-1} \frac{s}{a} &=& x \\ \sinh^{-1} \frac{s}{a} &=& \frac{x}{a} \\ \frac{s}{a} &=& \sinh \frac{x}{a} \\ s &=& a \sinh \frac{x}{a} \end{eqnarray}
