九大 2020年理系第1問 - 数式で独楽する

点 $(a,0)$ を通り、曲線 $y = e^{-x} - e^{-2x}$ に接する直線が存在するような定数$a$の範囲を求めよ。

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解答例

\begin{equation}
f(x) = e^{-x} - e^{-2x}
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
f'(x) = -e^{-x} + 2e^{-2x}
\end{equation}です。

したがって、曲線上の点 $(t, f(t))$ における接線の式は、
\begin{equation}
y = (-e^{-t} +2e^{-2t})(x -t) +e^{-t} -e^{-2t}
\end{equation}と表すことができます。

接線が点$(a,0)$を通るので、
\begin{eqnarray}
0 &=& (-e^{-t} +2e^{-2t})(a -t) +e^{-t} -e^{-2t} \\
0 &=& (-e^t +2)(a -t) +e^t -1
\end{eqnarray}が成り立ちます。
$t \ne \log 2$ のとき、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{e^t -1}{e^t -2} +t \\
&=& 1 + \frac{1}{e^t -2} +t
\end{eqnarray}となります。

ここで $a = g(t)$ とすると、
\begin{equation}
g'(t) = - \frac{e^t}{(e^t -2)^2} +1
\end{equation}です。

$g'(t)=0$ となる$t$を求めます。
\begin{eqnarray}
(e^t -2)^2 &=& e^t \\
e^{2t} -4e^t +4 &=& e^t \\
e^{2t} -5e^t +4 &=& 0 \\
(e^t -1)(e^t -4) &=& 0 \\
e^t &=& 1, 4 \\
t &=& 0, 2\log 2
\end{eqnarray}

これより、$g(t)$の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccccccc|}
\hline
t & -\infty & \cdots & 0 & \cdots & \log 2 & \cdots & 2 \log 2 & \cdots & +\infty \\ \hline
g'(t) & & + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline
g(t) & -\infty & \nearrow & 0 & \searrow & -\infty \ | \ +\infty & \searrow & \displaystyle \frac{3}{2} + 2\log 2 & \nearrow & +\infty \\ \hline
\end{array}

以上より、定数$a$の範囲は、
\begin{equation}
a \leqq 0, \quad \frac{3}{2} + 2\log 2 \leqq a
\end{equation}となります。