次の和を求めよ。
\begin{equation}
\log_{10} \left( 1 + \frac{1}{1} \right) + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \cdots + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{99} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e
\end{equation}がちらつきますが、深みに嵌まりそうです。
用いる和をとします。
対数の性質に注目します。
積の対数は対数の和になるということを用います。
\begin{equation}
S = \log_{10} \left \{ \left( 1 + \frac{1}{1} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{98} \right) \left( 1 + \frac{1}{99} \right) \right \}
\end{equation}
括弧の中を仮分数にしてみます。
\begin{equation}
S = \log_{10} \left( 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \cdots \cdot \frac{99}{98} \cdot \frac{100}{99} \right)
\end{equation}
するとどうでしょう。
対数の中の2~99が約分で消えてしまいます。
\begin{equation}
S = \log_{10} 100 = 2
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
\log_{10} \left( 1 + \frac{1}{1} \right) + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) + \cdots + \log_{10} \left( 1 + \frac{1}{99} \right) = 2
\end{equation}となります。
