京大 2010年理系第6問 - 数式で独楽する

$n$ 個のボールを $2n$ 個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を $p_n$ とする。このとき、極限値 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log p_n}{n}$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

$1,2,\cdots , n$ 個目のボールが、ボールの入っていない箱に入る確率は、それぞれ
\begin{equation}
\frac{2n}{2n}, \ \frac{2n -1}{2n}, \ \cdots , \ \frac{n +1}{2n}
\end{equation}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
p_n &=& \frac{2n}{2n} \cdot \frac{2n -1}{2n} \cdot \cdots \cdot \frac{n +1}{2n} \\
&=& \frac{1}{2^n} \left( 1 +\frac{1}{n} \right) \left( 1 +\frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1 +\frac{n -1}{n} \right) \left( 1 +\frac{n}{n} \right) \\
\log p_n &=& -n \log 2 + \log \left( 1 +\frac{1}{n} \right) +\log \left( 1 +\frac{2}{n} \right) +\cdots +\log \left( 1 +\frac{n}{n} \right) \\
&=& -n \log 2 +\sum_{k=1}^n \log \left( 1 +\frac{k}{n} \right) \\
\lim_{n \to \infty} \frac{\log p_n}{n} &=& \lim_{n \to \infty} \left \{ -\log 2 +\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1 +\frac{k}{n} \right) \right \}
\end{eqnarray}となります。

ここで、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \log \left( 1 +\frac{k}{n} \right) &=& \int_1^2 \log x \, dx \\
&=& \biggl[ \ x \log x \ \biggr]_1^2 -\int_1^2 dx \\
&=& 2\log 2 -1
\end{eqnarray}なので*1、求める極限は
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{\log p_n}{n} &=& -\log 2 +2\log 2 -1 \\
&=& \log 2 -1
\end{eqnarray}となります。