定ベクトルとベクトル関数の積にナブラ演算子を作用させたらどうなるか、をまとめます。
定ベクトル、ベクトル関数
に対し、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{A}) &=& - \boldsymbol{a} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
\nabla \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{A}) &=& \boldsymbol{a} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} \\
\nabla(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{A}) &=& (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + \boldsymbol{a} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}
は定ベクトルなので、
が少しでも関わると0になります。
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{a} &=& 0 \\
\nabla \times \boldsymbol{a} &=& 0 \\
(\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \, \boldsymbol{a} &=& 0
\end{eqnarray}
よって
を用いて、次のようになります。
外積の発散
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{A}) &=& \boldsymbol{A} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{a}) - \boldsymbol{a} \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
&=& 0 - \boldsymbol{a} (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
&=& - \boldsymbol{a} (\nabla \times \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}
外積の回転
\begin{eqnarray}
\nabla \times (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{A}) &=& (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{a} - \boldsymbol{A} (\nabla \cdot \boldsymbol{a}) - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + \boldsymbol{a} (\nabla \cdot\boldsymbol{A}) \\
&=& 0 - 0 - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + \boldsymbol{a} (\nabla \cdot\boldsymbol{A}) \\
&=& \boldsymbol{a} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A}
\end{eqnarray}
内積の勾配
\begin{eqnarray}
\nabla(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{A}) &=& (\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} +\boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{a}) + \boldsymbol{a} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
&=& 0 + (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + 0 + \boldsymbol{a} \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\
&=& (\boldsymbol{a} \cdot \nabla) \boldsymbol{A} + \boldsymbol{a} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})
\end{eqnarray}
ベクトルの外積の発散 - 数式で独楽する
ベクトルの外積の回転 - 数式で独楽する
ベクトルの内積の勾配 - 数式で独楽する
