スカラー$u$のラプラシアンを2次元の極座標系$(r, \theta)$で表すと、次のようになります。
勾配の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}のとき、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \\
&=& \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{eqnarray}
2次元極座標系のラプラシアン - 数式で独楽する
では2次元極座標系のラプラシアンを直接導きましたが、勾配と発散を導いていると、ラプラシアンの導出も容易です。
まず、スカラー$u$の勾配は
\begin{equation}
\nabla u = \frac{\partial u}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta \tag{1}
\end{equation}です。
2次元極座標系の勾配 - 数式で独楽する
2次元極座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{A}= A_r \boldsymbol{e}_r + A_\theta \boldsymbol{e}_\theta \tag{2}
\end{equation}の発散は、
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \tag{3}
\end{equation}です。
2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する
2次元極座標系の発散 ~ 内積のように導く - 数式で独楽する
ここで
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = \nabla u \tag{4}
\end{equation}とすると、式(1), (2)より
\begin{eqnarray}
A_r &=& \frac{\partial u}{\partial r} \tag{5} \\
A_\theta &=& \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \tag{6}
\end{eqnarray}となります。
式(4), (5), (6)を式(3)に代入すると、2次元極座標系のラプラシアン
\begin{equation}
\nabla^2 u = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r \, \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{equation}を得ます。
ポンポンと置く感じで導くことができます。
