スカラーに対し、勾配の発散は、「ラプラス作用素」または「ラプラシアン」という名称が与えられており、
や
と表します。
\begin{eqnarray}
\triangle u &=& \nabla^2 u \\
&=& \nabla \cdot \nabla u \\
&=& \mathrm{div} \, \mathrm{grad} \, u
\end{eqnarray}
ということです。
2次元直交座標の場合、
\begin{eqnarray}
\triangle u = \nabla^2 u &=& \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) u \\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
\end{eqnarray}です。
3次元直交座標の場合、
\begin{eqnarray}
\triangle u = \nabla^2 u &=& \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) u \\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{eqnarray}です。
次元直交座標の場合、
\begin{eqnarray}
\triangle u = \nabla^2 u &=& \left( \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} \right) u \\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}
\end{eqnarray}です。
和の記号を用いると、
\begin{eqnarray}
\triangle u = \nabla^2 u &=& \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \right) u \\
&=& \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}
\end{eqnarray}です。
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いると、
\begin{equation}
\triangle u = \nabla^2 u = \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial}{\partial x_i} \, u
\end{equation}です。
極座標系のラプラシアンはこちら。
2次元極座標系のラプラシアン - 数式で独楽する
3次元円柱座標系のラプラシアン - 数式で独楽する
3次元極座標系(球座標系)のラプラシアン - 数式で独楽する
