本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \\
z &=& z \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$の速度と加速度について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
円柱座標系における位置ベクトル
円柱座標系における位置ベクトルの表記は、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=& r \, \boldsymbol{e}_r + z \, \boldsymbol{k} \tag{2} \\
|\boldsymbol{r} |^2 &=& r^2 + z^2
\end{eqnarray}です。
単位ベクトルについては
3次元円柱座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
3次元円柱座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
を参照ください。
なお、単位ベクトル$\boldsymbol{e}_r$は$\theta$について可変であることに注意してください。
円柱座標系における速度
まず、式(2)で表される位置ベクトルの全微分を考えます。
なお、単位ベクトルの偏微分を考慮します。
3次元円柱座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
d \boldsymbol{r} &=& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \, d \theta + \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z} \, dz \\
&=& \frac{\partial}{\partial r} \, (r \, \boldsymbol{e}_r) \, dr + \frac{\partial}{\partial \theta} \, (r \, \boldsymbol{e}_r) \, d\theta + \boldsymbol{k} \, dz\\
&=& \left( \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} \right) dr + r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} d\theta + \boldsymbol{k} \, dz\\
&=& (\boldsymbol{e}_r + 0) dr + r \, \boldsymbol{e}_\theta \, d\theta + \boldsymbol{k} \, dz \\
&=& dr \, \boldsymbol{e}_r + r \, d\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + dz \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}
時間$t$で微分すると、速度が得られます。
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + \frac{dz}{dt} \, \boldsymbol{k} \tag{3}
\end{equation}
円柱座標系における加速度
式(3)を時間で微分すると加速度が得られます。
途中で単位ベクトルの時間微分が出て来ます。それを求めるため、全微分を出してみます。なお、ここでも単位ベクトルの偏微分を考慮します。
\begin{eqnarray}
d \boldsymbol{e}_r &=& \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial z} \, dz &=& \boldsymbol{e}_\theta \, d\theta \\
d \boldsymbol{e}_\theta &=& \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial z} \, dz &=& -\boldsymbol{e}_r \, d\theta \\
d \boldsymbol{k} &=& \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \theta} \, d\theta + \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial z} \, dz &=& 0
\end{eqnarray}したがって、単位ベクトルの時間微分は、
\begin{eqnarray}
\frac{d \boldsymbol{e}_r}{dt} &=& \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta \\
\frac{d \boldsymbol{e}_\theta}{dt} &=& -\frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e_r} \\
\frac{d \boldsymbol{k}}{dt} &=& 0
\end{eqnarray}となります。
これを用い、極座標系における加速度
\begin{eqnarray}
\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2} &=& \frac{d}{dt} \left( \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + \frac{dz}{dt} \, \boldsymbol{k} \right) \\
&=& \frac{d^2 r}{dt^2} \, \boldsymbol{e}_r + \frac{dr}{dt} \frac{d \boldsymbol{e}_r}{dt} + \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \, \frac{d\theta}{dt} \frac{d \boldsymbol{e}_\theta}{dt} + \frac{d^2 z}{dt^2} \, \boldsymbol{k} + \frac{dz}{dt} \frac{d \boldsymbol{k}}{dt} \\
&=& \left( \frac{d^2 r}{dt^2} - r \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 \right) \, \boldsymbol{e}_r + \left( 2 \, \frac{dr}{dt} \frac{d\theta}{dt} + r \, \frac{d^2 \theta}{dt^2} \right) \, \boldsymbol{e}_\theta + \frac{d^2 z}{dt^2} \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}を得ます。
