△ABCの頂点A, B, C、内心Iの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{equation}
\vec{i} = \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a +b +c}
\end{equation}
なお、は辺BC, CA, ABの長さです。
本稿では、素直に導いてみます。
三角形の内心の位置ベクトル - 数式で独楽する
とは異なる手法です。
三角形の内角の二等分線は、その内角の対辺を残りの2辺の比に内分します。
三角形の角の二等分線による対辺の分割 - 数式で独楽する
△ABCの内心Iについて、定数を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AI}} &=& k \left( b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \,\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{BI}} &=& l \left( c \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} +a \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} \right) \tag{2}
\end{eqnarray}と表すことができます。
式(2)は
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AI}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& l \left \{ c \, \left( \overrightarrow{\mathrm{AC}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) -a \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right \} \\
\overrightarrow{\mathrm{AI}} &=& (1 -la -lc) \overrightarrow{\mathrm{AB}} +lc \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3}
\end{eqnarray}と変形できます。
式(1), (3)より、次の式(4), (5)が同時に成立します。
\begin{eqnarray}
kb &=& 1 -la -lc \ tag{4} \\
kc &=& lc \tag{5}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
k = l = \frac{1}{a +b +c}
\end{equation}となります。
これを式(1)に返して
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AI}} = \frac{b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \,\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{a + b +c} \tag{6}
\end{equation}を得ます。
式(6)を位置ベクトルを用いて表すと、
\begin{equation}
\vec{i} -\vec{a} = \frac{ b\, \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +c \, \left( \vec{c} -\vec{a} \right)}{a +b +c}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\vec{i} = \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a +b +c}
\end{equation}を得ます。
