ベクトルによる三角形の3分割

△ABCと点Xが
\begin{equation}
p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0}
\end{equation}を満たすとき、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle XBC : \triangle XCA : \triangle XAB} = p : q : r
\end{equation}となります。

ベクトルの1つが他の2つの一次結合で表されており、点Xは△ABCと同一平面にあることが分かります。
この表現で三角形を分割したときの面積比を与える面白い形です。

証明です。
\begin{equation}
p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0}
\end{equation}より、Aを起点に
\begin{eqnarray}
p \, \overrightarrow{\mathrm{AX}} &=& q \, \left( -\overrightarrow{\mathrm{AX}} +\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) +r \, \left( -\overrightarrow{\mathrm{AX}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{AX}} &=& \frac{q\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p +q +r} \tag{1}
\end{eqnarray}を得ます。
同様に、Bを起点に
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{BX}} = \frac{p \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{p +q +r} \tag{2}
\end{equation}を得ます。

式(1), (2)より、それぞれ
\begin{eqnarray}
\mathrm{\triangle XAB : \triangle XCA} &=& r : q \\
\mathrm{\triangle XAB : \triangle XBC} &=& r : p
\end{eqnarray}であることが分かります。

よって、
\begin{equation}
\mathrm{\triangle XBC : \triangle XCA : \triangle XAB} = p : q : r
\end{equation}を得ます。

本稿は、
2019年前期兵庫県立大 - 数式で独楽する
の一般化です。
表記の仕方を工夫すると、美しい形になります。

なお、 $p,q,r$ が