本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する
3次元球座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
では、直交座標系の単位ベクトルとの関係を次のように導きました。
球座標系を直交座標系に変換
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} \tag{2}
\end{eqnarray}
直交座標系を球座標系に変換
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \sin \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\theta - \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\theta + \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{k} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \tag{3}
\end{eqnarray}
行列による表記
行列を用いると、式(2), (3)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array} \right) \tag{4} \\
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array} \right) \tag{5}
\end{eqnarray}と書けます。
行列部分を
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array} \right) \tag{6}
\end{equation}とすると、式(4), (5)は
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array} \right) \tag{7} \\
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array} \right) \tag{8}
\end{eqnarray}と書けます。
行列$R$は直交行列となっています。逆行列は、行と列を入れ替えることで容易に作ることができます。直交行列の転置行列は逆行列となります。
行列の意味するもの
式(6)の行列は、
\begin{eqnarray}
R &=& \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\cos \theta & 0 & -\sin \theta \\
0 & 1 & 0 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{ccc} \cos \phi & \sin \phi & 0 \\
-\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
R^{-1} &=& \left( \begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\
\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{ccc} \sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}と書くことができます。
逆行列は、
- y軸周りに角θだけ回転した後、
- z軸周りに角φだけ回転させる
行列になっています。
