\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\nabla r^n = n r^{n -2} \boldsymbol{r}
\end{equation}
は、それぞれ直交座標系の
軸方向の単位ベクトルとします。
また、
\begin{eqnarray}
r &=& |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \\
\boldsymbol{r} &=& x \, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}です。
積の勾配
スカラーの積の勾配 - 数式で独楽する
と距離の勾配
座標原点からの距離の勾配 - 数式で独楽する
も用いて、
\begin{eqnarray}
\nabla r^n &=& nr^{n -1} \nabla r \\
&=& nr^{n -1} \frac{\boldsymbol{r}}{r} \\
&=& nr^{n -2} \boldsymbol{r}
\end{eqnarray}となります。
3次元の極座標系(球座標系)で考えると、勾配は
\begin{equation}
\nabla r^n = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial r^n}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial r^n}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial r^n}{\partial \phi} \\
\end{equation}です。はそれぞれ
が増える方向の単位ベクトルです。
3次元球座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
今、は
には無関係なので
\begin{equation}
\nabla r^n = nr^{n -1} \boldsymbol{e}_r = nr^{n -2} \boldsymbol{r}
\end{equation}となります。
