本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系$(r, \theta)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する
直交座標系の単位ベクトルとの関係
- $r$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_r$
- $\theta$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_\theta$
とします。
2次元の直交座標系の単位ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{i} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \quad
\boldsymbol{j} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}との関係は、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \ \boldsymbol{i} + \sin \theta \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& - \sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \ \boldsymbol{j} \tag{2}
\end{eqnarray}または
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
行列を用いると、式(2), (3)はそれぞれ
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array} \right) \tag{4} \\
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array} \right)
&=& \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \end{array} \right) \tag{5}
\end{eqnarray}と書けます。
行列部分を
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{cc} \cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \end{array} \right) \tag{6}
\end{equation}とすると、式(4), (5)は
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array} \right) \tag{7} \\
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \end{array} \right) \tag{8}
\end{eqnarray}と書けます。*1
単位ベクトルは、位置ベクトル
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{r} &=& x \ \boldsymbol{i} + y \ \boldsymbol{j} \\
&=& r \cos \theta \ \boldsymbol{i} + r \sin \theta \ \boldsymbol{j}
\end{eqnarray}を用いて
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_r = \cfrac{\ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \ }{\left| \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \right|}, \quad
\boldsymbol{e}_\theta = \cfrac{\ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \ }{\left| \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \right|}
\end{equation}として求めることができます。
位置ベクトルの式変形は、式(1)によります。
単位ベクトル同士の関係
単位ベクトル同士の内積を求めると、式(2)により、
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_r \cdot \boldsymbol{e}_\theta =0
\end{equation}となります。
これより、両者は直交することが分かります。
単位ベクトルの偏微分
単位ベクトルを$r, \theta$で偏微分すると、式(2)により、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_r &=& -\sin \theta \ \boldsymbol{i} + \cos \theta \, \boldsymbol{j} = \boldsymbol{e}_\theta \\
\frac{\partial}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_\theta &=& 0 \\
\frac{\partial}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta &=& - \cos \theta \ \boldsymbol{i} - \sin \theta \ \boldsymbol{j} = -\boldsymbol{e}_r \tag{9}
\end{eqnarray}となります。
これより、$\theta$が変化すると単位ベクトルは自身に垂直な方向に変化していくことが分かります。
