「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。
1回の試行での成功の確率を、反復の回数を
としたとき、試行が
回成功する確率は、
\begin{equation}
P(X=k) = {}_n C_k \, p^k q^{n -k} = \frac{n!}{k! (n -k)!} \, p^k q^{n -k} \quad (p+q=1) \tag{1}
\end{equation}となります。
このとき、成功の回数となる確率変数は二項分布
に従う、といいます。
本稿では、平均と分散の別の求め方を見ていきます。
平均
平均はです。
確率変数を、
回目の試行が成功の場合は1、失敗の場合は0となるように定めます。すると、成功の回数
は、
\begin{equation}
X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \tag{2}
\end{equation}となります。
これより、
\begin{equation}
E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_n) \tag{3}
\end{equation}となります。
期待値、平均値の性質 その3 - 数式で独楽する
各は
\begin{eqnarray}
E(X_i) &=& 1 \cdot p + 0 \cdot (1 -p) \\
&=& p \tag{4}
\end{eqnarray}なので、式(3), (4)より、
\begin{equation}
E(X) = np
\end{equation}を得ます。
分散
分散はです。
各は独立なので、
\begin{equation}
V(X) = V(X_1) + V(X_2) + \cdots + V(X_n) \tag{5}
\end{equation}となります。
分散の性質 その2 - 数式で独楽する
各は、
\begin{eqnarray}
V(X_i) &=& E({X_i}^2) - \left( E(X) \right)^2 \\
&=& p - p^2 \\
&=& p(1 -p) = pq \tag{6}
\end{eqnarray}です。
なお、は式(4)と同様に求められます。
よって、式(5), (6)より、
\begin{equation}
V(X) = np(1 -p) = npq
\end{equation}を得ます。
