分散の性質その2 - 数式で独楽する

分散は、

分布が平均に対してどの程度ばらついているか

の指標です。
表記は、 $V(X), s^2, \sigma^2$ などが使われています。

確率変数 $X,Y$ の分散には、次の関係が成り立ちます。

\begin{equation}
V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X,Y) \tag{1}
\end{equation}
特に$X,Y$が独立の場合、
\begin{equation}
V(X+Y) = V(X) + V(Y) \tag{2}
\end{equation}

式(1)の $\mathrm{Cov}(X,Y)$ は $X,Y$ の共分散で、
\begin{equation}
\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) \tag{3}
\end{equation}という関係があります。
特に、 $X,Y$ が独立の場合、
\begin{equation}
\mathrm{Cov}(X,Y) =0 \tag{4}
\end{equation}です。
共分散 - 数式で独楽する

では、見ていきましょう。

分散と平均の関係
\begin{equation}
V(X) =E(X^2) - \left( E(X) \right)^2
\end{equation}を用います。
分散の性質 - 数式で独楽する

\begin{eqnarray}
V(X+Y) &=& E \left( (X+Y)^2 \right) - \left( E(X+Y) \right)^2 \\
&=& E(X^2 + 2XY + Y^2) - \left( E(X) \right)^2 - 2E(X) E(Y) - \left( E(Y^2) \right)^2 \\
&=& \left \{ E(X^2) - \left( E(X) \right)^2 \right \} + \left \{ E(Y^2) - \left( E(Y) \right)^2 \right \} +2 \left \{ E(XY) - E(X) E(Y) \right \} \\
&=& V(X) + V(Y) + 2 \, \mathrm{Cov}(X,Y)
\end{eqnarray}となり、式(1)の関係を得ます。