相加平均、相乗平均の関係
負でない個の数
に対し
\begin{equation}
\frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{1}
\end{equation}
4個の場合
2つの数の相加平均と相乗平均の関係
相加平均、相乗平均、調和平均の関係 - 数式で独楽する
を繰り返し用います。
\begin{eqnarray}
\frac{a_1 +a_2 +a_3 +a_4}{4} & \geqq & \frac{\sqrt{a_1 a_2} \sqrt{a_3 a_4}}{2} \\
& \geqq & \sqrt{\sqrt{a_1 a_2} \sqrt{a_3 a_4}} \\
&=& \sqrt[4]{a_1 a_2 a_3 a_4}
\end{eqnarray}となります。
等号成立は
\begin{equation}
a_1 = a_2 \quad \mbox{かつ} \quad a_3 = a_4
\end{equation}かつ
\begin{equation}
a_1 a_2 = a_3 a_4
\end{equation}つまり
\begin{equation}
a_1 = a_2 = a_3 = a_4
\end{equation}です。
2の冪乗個の場合
上の項を繰り返していけば、式(1)を示すことができます。
等号成立は、
\begin{equation}
a_1 = a_2 = \cdots = a_n
\end{equation}のときです。
2の冪乗個でない場合
\begin{equation}
2^k < n < 2^{k +1}
\end{equation}なるに対し
\begin{equation}
n +m = 2^{k +1}
\end{equation}なるを定めます。
さらに
\begin{equation}
p = \frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \tag{2}
\end{equation}とします。
このとき、強引に個にした負でない数に対し
\begin{eqnarray}
\frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n +mp}{m +n} &=& \frac{np +mp}{m +n} \quad \because \ \mbox{eq. (2)} \\
&=& \frac{(m +n)p}{m +n} \\
&=& p \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
一方、前項により
\begin{equation}
\frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n +mp}{m +n} \geqq \sqrt[m +n]{a_1 a_2 \cdots a_n p^m} \tag{4}
\end{equation}が成り立ちます。
等号成立は
\begin{equation}
a_1 = a_2 = \cdots = a_n = p
\end{equation}のときです。
式(3), (4)をまとめると、
\begin{eqnarray}
p & \geqq & \sqrt[m +n]{a_1 a_2 \cdots a_n p^m} \\
p^{m +n} & \geqq & a_1 a_2 \cdots a_n p^m \\
p^n & \geqq & a_1 a_2 \cdots a_n
\end{eqnarray}となります。
式(2)を踏まえると、
\begin{equation}
\frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{1}
\end{equation}を得ます。
等号成立は
\begin{equation}
a_1 = a_2 = \cdots = a_n
\end{equation}のときです。
まとめ
以上をまとめると、負でない個の数
に対し
\begin{equation}
\frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが示されます。
