一次独立と一次従属

一次独立

零ベクトルでないベクトルが「一次独立」または「線型独立」であるとは、

\begin{equation}
a_1 \boldsymbol{v}_1 + a_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}
\end{equation}を満たすスカラーは
\begin{equation}
a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0
\end{equation}のみである。

ということをいいます。

このとき、任意のベクトルはの一次結合(線型結合)、つまり
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = a_1 \boldsymbol{v}_1 + a_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_n
\end{equation}で表すことができます。

一次従属

零ベクトルではないベクトルの一次結合
\begin{equation}
a_1 \boldsymbol{v}_1 + a_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_n = \boldsymbol{0}
\end{equation}において、あるで
\begin{equation}
a_i \ne 0
\end{equation}となる場合、「一次従属」または「線型従属」といいます。

このとき、いずれのベクトルも他の$n -1$個のベクトルの一次結合で表すことができます。