ベクトルの一致

一次独立な$n$本のベクトルは、$n$次元の空間をなします。
この空間の任意のベクトルは、の一次結合
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = a_1 \boldsymbol{v}_1 + a_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_n
\end{equation}で表すことができます。

ここで、

2つのベクトル
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} &=& a_1 \boldsymbol{v}_1 + a_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + a_n \boldsymbol{v}_n \\
\boldsymbol{b} &=& b_1 \boldsymbol{v}_1 + b_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + b_n \boldsymbol{v}_n
\end{eqnarray}において、
\begin{equation}
\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \ \Longleftrightarrow \ a_i = b_i \ (i = 1,2, \cdots , n)
\end{equation}である。

ことをみていきます。

\begin{equation}
\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_1 - b_1) \boldsymbol{v}_1 + (a_2 - b_2) \boldsymbol{v}_2 + \cdots + (a_n - b_n) \boldsymbol{v}_n= \boldsymbol{0}
\end{equation}が成り立ちます。が一次独立なので、
\begin{equation}
a_i - b_i = 0 \ (i=1,2, \cdots n)
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
a_i = b_i \ (i = 1,2, \cdots , n)
\end{equation}となります。
逆も成り立ちます。
一次独立と一次従属 - 数式で独楽する

ベクトルが一致⇔成分が全て一致
ということですね。