エルミート2次形式 - 数式で独楽する

$n$ 個の複素数の変数 $x_1, x_2, \cdots, x_n \in \mathbb{C}$ より、

重複を許して適当に2個取り出して、
片方を複素共軛にして積をとり、
さらに適当に定数(複素数)を乗じ、
和をとったもの

を「エルミート2次形式」といいます。

数式で記述すると、
\begin{equation}
Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \overline{x_i} x_j \tag{1}
\end{equation}です。
2次形式 - 数式で独楽する
で複素数としたものです。
式中、上の横線 $\overline{*}$ は、複素共軛を表します。
共軛複素数 - 数式で独楽する

このエルミート2次形式は、適当な条件の下、変数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ を適当な変換で $y_1, y_2, \cdots, y_n$ にすることで、
\begin{equation}
Q = \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2 \tag{2}
\end{equation}とすることができます。
元の形は複素数を含んでいますが、このエルミート2次形式は実数となることが分かります。

みていきましょう。

エルミート2次形式
\begin{equation}
Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \overline{x_i} x_j \tag{1}
\end{equation}において、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \\
A&=& (a_{ij})
\end{eqnarray}なるベクトル $\boldsymbol{x}$ と行列 $A$ を定めると、式(1)は
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{x}^* A \boldsymbol{x} \tag{3}
\end{equation}と書くことができます。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& P \boldsymbol{y} \tag{4} \\
\boldsymbol{y} &=& \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)
\end{eqnarray}となる行列 $P$ 、ベクトル $\boldsymbol{y}$ 、新たな変数 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ を定めます。
式(3)は、
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{y}^* P^* AP \boldsymbol{y} \tag{5}
\end{equation}となります。
積の転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

式(1)の2次形式ですが、 $\overline{x_i} x_j = \overline{\overline{x_j} x_i}$ なので、
\begin{equation}
a_{ji} = \overline{a_{ij}}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
A^* = A
\end{equation}とすることができます。つまり、 $A$ はエルミート行列です。
対称行列とエルミート行列 - 数式で独楽する

行列 $A$ の固有値、固有ベクトルを
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{v}_k &=& \lambda_k \boldsymbol{v}_k \quad (i=k, \cdots, n) \\
\lambda_k & \ne & \lambda_l \quad (k \ne l)
\end{eqnarray}とします。つまり、相異なる固有値、固有ベクトルを $n$ 組とれるものとします。
行列 $A$ はエルミート行列なので、固有値は実数で、 $n$ 個の固有ベクトルは互いに直交します。
エルミート行列の固有値 - 数式で独楽する
 エルミート行列の固有ベクトル - 数式で独楽する

したがって、固有ベクトルを並べたものを行列 $P$
\begin{equation}
P = (\boldsymbol{v}_1 \ \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)
\end{equation}とすると、 $P$ はユニタリ行列となります。
ユニタリ行列 - 数式で独楽する

この行列 $P$ で、
\begin{equation}
P^* AP = \left( \begin{array}{ccc}
\lambda_1 && 0 \\
& \ddots & \\
0 && \lambda_n
\end{array} \right) \tag{6}
\end{equation}と対角化できます。
エルミート行列の対角化 - 数式で独楽する

よって、対称行列 $A$ を対角化する行列 $P$ で式(4)による変換を行うと、式(5), (6)より、
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{y}^* P^* AP \boldsymbol{y}
= \boldsymbol{y}^* \left( \begin{array}{ccc}
\lambda_1 && 0 \\
& \ddots & \\
0 && \lambda_n
\end{array} \right) \boldsymbol{y}
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
Q = \lambda_1 |y_1|^2 + \lambda_2 |y_2|^2 + \cdots + \lambda_n |y_n|^2 \tag{2}
\end{equation}とすることができます。

なお、各固有値 $\lambda_1, \cdots , \lambda_n$ は実数で、
\begin{equation}
\overline{y_k} y_k = |y_k|^2 \ (k=1, \cdots, n)
\end{equation}は複素数の絶対値の平方であり実数です。
つまり、エルミート2次形式 $Q$ は実数となります。