関数のノルム - 数式で独楽する

「ノルム」を突き詰めるといろいろ複雑ですが、ここでは

平方和の平方根

に限定して話を進めます。

関数 $A(x)$ の「ノルム」は、
\begin{equation}
||A(x)||^2 = \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b \{ A(x) \}^2 \, dx
\end{equation}です。

関数のノルムの2乗は、自身との内積で与えられます。
関数の内積 - 数式で独楽する

ここで関数のノルムとベクトルのノルムを比較していきます。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する

$n$ 次元のベクトル $\boldsymbol{A}$ を
\begin{equation}
\boldsymbol{A} = A_1 \boldsymbol{x}_1 + A_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + A_n \boldsymbol{x}_n
\end{equation}とします。ここで $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots , \boldsymbol{x}_n$ は $n$ 次元の単位ベクトルで、互いに直交します。

このとき、ベクトルのノルムの2乗は
\begin{eqnarray}
||\boldsymbol{A} ||^2 = \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{A} &=& {A_1}^2 + {A_2}^2 + \cdots + {A_n}^2 \\
&=& \sum_{i=1}^n {A_i}^2 \tag{1}
\end{eqnarray}です。
こちらも自身との内積で与えられます。
ベクトルの場合、高校レベルでは $| \boldsymbol{A} |$ と記述されることが多いです。*1