東北大2020年前期理系第3問 - 数式で独楽する

$n$ を正の整数、 $a,b$ を0以上の整数とする。
(1) $n \geqq 3$ のとき、不等式 $2^n +n^2 +8 < 3^n$ が成り立つことを示せ。
(2) 不等式 $2^n +n^2 +8 \geqq 3^n$ を満たす $n$ をすべて求めよ。
(3) 等式 $2^n +n^2 +8 = 3^n +an +b$ を満たす $a,b,n$ の組 $(a,b,n)$ をすべて求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
f(n) &=& 2^n +2^n +8 \\
g(n) &=& 3^n
\end{eqnarray}とします。
証明すべき不等式は
\begin{equation}
f(n) < g(n)
\end{equation}です。

$n=3$ の場合、 $f(3)=25, \ g(3)=27$ なので、
\begin{equation}
f(3) < g(3)
\end{equation}が成り立ちます。

$n=k$ の場合に $f(k) < g(k)$ 、つまり
\begin{equation}
2^k +k^2 +8 < 3^k
\end{equation}が成り立つと仮定すると、
\begin{eqnarray}
g(k+1) - f(k+1) &=& 3^{k+1} - \left \{ 2^{k+1} +(k+1)^2 +8 \right \} \\
&=& 3 \cdot 3^k - \left( 2^{k+1} +k^2 +2k +1 +8 \right) \\
&>& 3 \left( 2^k +k^2 +8 \right) - \left( 2 \cdot 2^k +k^2 +2k +9 \right) \\
&=& 2^k +2k^2 -2k +15 \\
&=& 2^k +k^2 +(k -1)^2 +14 \\
&>& 0
\end{eqnarray}つまり、
\begin{equation}
f(k+1) < g(k+1)
\end{equation}が成り立ちます。

よって数学的帰納法により、 $n \geqq 3$ のとき
\begin{equation}
2^n +n^2 +8 < 3^n
\end{equation}が成り立つことが示されました。
数学的帰納法 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

\begin{eqnarray}
f(1)=11, & \quad g(1)=3 \\
f(2)=16, & \quad g(2)=9
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
2^n +n^2 +8 \geqq 3^n
\end{equation}を満たす $n$ は
\begin{equation}
n=1,2
\end{equation}となります。

小問(3)の解答例

\begin{equation}
2^n +n^2 +8 = 3^n +an +b
\end{equation}に $n=1,2$ を代入します。

$n=1$ の場合、
\begin{eqnarray}
a+b &=& 8 \\
\therefore \quad (a,b) &=& (0,8), (1,7), \cdots , (8,0)
\end{eqnarray}です。
$n=2$ の場合、
\begin{eqnarray}
2a+b &=& 7 \\
\therefore \quad (a,b) &=& (0,7), (1,5), (2,3), (3,1)
\end{eqnarray}です。

以上より、求める $(a,b,n)$ は、
\begin{eqnarray}
(a,b,n) &=& (0,8,1), (1,7,1), (2,6,1), (3,5,1), (4,4,1), \\
&& (5,3,1), (6,2,1), (7,1,1), (8,0,1), \\
&& (0,7,2), (1,5,2), (2,3,2), (3,1,2)
\end{eqnarray}となります。

解説

小問(1)は数学的帰納法を用いれば一発です。出発点は $n=3$ なのが習いと違うところですが、設問の誘導に乗っておけば問題ありません。
小問(2)は小問(1)の誘導があるので、 $n=1,2$ が不等式を満たすかどうかを確認するだけです。
小問(3)は $n=1,2$ を等式に代入すれば容易です。
誘導なしで小問(3)のみを問われると、途端に難しくなる問題です。