京大2021年文系第5問 - 数式で独楽する

$p$ が素数ならば、 $p^4+14$ は素数でないことを示せ。

解答例
解説

解答例

p=2の場合

\begin{equation}
p^4 +14 =30
\end{equation}は素数ではありません。

p=3の場合

\begin{equation}
p^4 +14 = 95
\end{equation}は素数ではありません。

p≠2,3の場合

\begin{equation}
p \equiv \pm 1 \mod 3
\end{equation}なので、
\begin{equation}
p^4 +14 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod 3
\end{equation}となります。3の倍数であることが分かります。

まとめ

以上より、 $p$ が素数ならば、
\begin{equation}
p^4 +14
\end{equation}は素数ではないことが示されました。(証明終わり)

解説

取り付きにくい素数問題です。
素数は2と3とそれ以外に分けられることが痛感させられます。
素数のうち

2は偶数
3は3の倍数
その他の素数は3で割ると余る

ということを踏まえると、エレガントに解くことができます。

ちなみに、 $p$ に5, 7, 11, 13を入れるとそれぞれ639, 2415, 14655, 28575です。
命題はそうらしいということが分かりますが、全ての素数に対して命題が成り立つことをどう示すかが悩ましいところです。

また、 $p \ne 5$ なら
\begin{eqnarray}
p & \equiv & \pm 1, \pm 2 & \mod 5 \\
p^2 & \equiv & \pm 1 & \mod 5 \\
p^4 & \equiv & 1 & \mod 5
\end{eqnarray}なので、 $p^4 +14$ は5の倍数でもあります。