京大 2014年理系第5問 - 数式で独楽する

自然数 $a, b$ はどちらも3で割り切れないが、 $a^3 +b^3$ は81で割り切れる。このような $a,b$ の組 $(a,b)$ のうち、 $a^2 +b^2$ の値を最小にするものと、そのときの $a^2 +b^2$ の値を求めよ。

解答例
解説

解答例

$a \equiv b \equiv 1 \mod 3$ の場合、
\begin{equation}
a^3 +b^3 \equiv 2 \mod 3
\end{equation}です。
$a \equiv b \equiv -1 \mod 3$ の場合、
\begin{equation}
a^3 +b^3 \equiv -2 \mod 3
\end{equation}です。
よって、 $a,b$ のうち、一方は3で割ると1余り、他方は2余ります。
つまり、
\begin{equation}
a +b \equiv 0 \mod 3
\end{equation}すなわち $a+b$ は3の倍数となります。

一方、
\begin{eqnarray}
a^3 +b^3 &=& (a +b)(a^2 -ab +b^2) \\
&=& (a +b) \left \{ (a +b)^2 -3ab \right \}
\end{eqnarray}と変形できます。
$(a +b)^2 -3ab$ は3の倍数なので、 $a +b$ を27の倍数とすれば、 $a^3 +b^3$ は81の倍数となります。

$a^2 +b^2$ が最小となるのは
\begin{equation}
a +b =27 \tag{1}
\end{equation}のときとなります。

また、
\begin{equation}
a^2 +b^2 = \frac{1}{2}(a +b)^2 +\frac{1}{2}(a -b)^2
\end{equation}となるので、
\begin{equation}
a -b = \pm 1 \tag{2}
\end{equation}の場合に $a^2 +b^2$ は最小となります。

式(1), (2)より、
\begin{equation}
(a,b) = (13,14), \ (14,13)
\end{equation}のとき、