東大2005年前期理科第4問 - 数式で独楽する

3以上9999以下の奇数 $a$ で $a^2 -a$ が10000で割り切れるものをすべて求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
a^2 -a &=& a(a -1) \\
10000 &=& 2^4 \cdot 5^4
\end{eqnarray}なので、 $a, \ a-1$ のいずれかに因数 $5^4$ が含まれることになります。連続2整数の両方に因数5を含むことはあり得ません。

$a -1=5^4 n \ (n \in \mathbb{N})$ を仮定します。
$a$ は奇数なので $a -1$ は偶数です。
$a(a -1)$ が10000で割り切れることを考慮すると、
\begin{equation}
a -1=10000n
\end{equation}となります。しかし $a \leqq 9999$ であるため、不適です。

したがって、条件を満たすのは
\begin{equation}
a = 5^4 n =625n \ (n \in \mathbb{N})
\end{equation}のみとなります。 $a \leqq 9999$ を考慮すると、
\begin{equation}
n = 1,3,5,7,9,11,13,15
\end{equation}です。

$n=3,7,11,15$ の場合
$a$ の下2桁は75です。
$a -1$ の下2桁は74で、偶数ですが4の倍数にもなりません。
つまり $a(a -1)$ は10000の倍数にはなりません。

$n=1,5,9,13$ の場合
\begin{array}{|c|rl|rl|}
\hline
n && a && a -1 \\ \hline
1 & 625 & =5^4 & 624 & = 2^4 \cdot 39 \\
5 & 3125 & =5^5 & 3124 & =2^2 \cdot 781 \\
9 & 5625 & =3^2 \cdot 5^4 & 5624 & = 2^3 \cdot 703 \\
13 & 8125 & =5^4 \cdot 13 & 8124 & =2^2 \cdot 2031 \\ \hline
\end{array}なので、条件に合致するのは
\begin{equation}
a =625
\end{equation}のみです。