2022年京大文系第4問 - 数式で独楽する

$a,b$ を正の実数とする。直線 $L: \ ax +by =1$ と曲線 $y = \displaystyle - \frac{1}{x}$ との2つの交点のうち、 $y$ 座標が正のものをP、負のものをQとする。また $L$ と $x$ 軸との交点をR、 $L$ と $y$ 軸との交点をSとする。 $a,b$ が条件
\begin{equation}
\mathrm{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{2}
\end{equation}を満たしながら動くとき、線分PQの中点の軌跡を求めよ。

解答例
解説

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解答例

2交点の座標をP $(p_x, p_y)$ , Q $(q_x, q_y)$ とします。
\begin{eqnarray}
ax +by &=& 1 \tag{1} \\
y &=& -\frac{1}{x} \tag{2}
\end{eqnarray}より $y$ を消去します。
\begin{eqnarray}
ax -\frac{b}{x} &=& 1 \\
ax^2 -x -b &=& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}式(3)の解と係数の関係は
\begin{eqnarray}
p_x +q_x &=& \frac{1}{a} \tag{4} \\
p_x q_x &=& -\frac{b}{a} \tag{5}
\end{eqnarray}です。
解と係数の関係 - 数式で独楽する
式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
(p_x -q_x)^2 &=& (p_x +q_x)^2 -4p_x q_x \\
&=& \frac{1}{a^2} +\frac{4b}{a} \\
&=& \frac{4ab +1}{a^2} \tag{6}
\end{eqnarray}となります。

式(1), (2)より $x$ を消去すると
\begin{eqnarray}
-\frac{a}{y} +by &=& 1 \\
by^2 -y -a &=& 0 \tag{7}
\end{eqnarray}となります。
同様に、式(7)の解と係数の関係は
\begin{eqnarray}
p_y +q_y &=& \frac{1}{b} \tag{8} \\
p_y q_y &=& -\frac{a}{b} \tag{9}
\end{eqnarray}です。
式(8), (9)より
\begin{eqnarray}
(p_y -q_y)^2 &=& (p_y +q_y)^2 -4p_y q_y \\
&=& \frac{1}{b^2} +\frac{4a}{b} \\
&=& \frac{4ab +1}{b^2} \tag{10}
\end{eqnarray}となります。

式(6), (10)より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{PQ}^2 &=& (p_x -q_x)^2 +(p_y -q_y)^2 \\
&=& (4ab +1) \left( \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} \right) \tag{11}
\end{eqnarray}を得ます。

また、R, Sの座標は
\begin{equation}
\mathrm{R} \left( \frac{1}{a}, \ 0 \right), \quad \mathrm{S} \left( 0, \ \frac{1}{b} \right)
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\mathrm{RS}^2 = \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} \tag{12}
\end{equation}です。

式(11), (12)と
\begin{equation}
\mathrm{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{2}
\end{equation}により、 $a,b$ を拘束する条件は
\begin{equation}
4ab +1 = 2
\end{equation}つまり
\begin{equation}
ab = \frac{1}{4} \tag{13}
\end{equation}となります。

式(4), (8), (13)より、
\begin{eqnarray}
\frac{p_x +q_x}{2} &=& \frac{1}{2a} = 2b \\
\frac{p_y +q_y}{2} &=& \frac{1}{2b}
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、PQの中点の座標は
\begin{equation}
\left( 2b, \ \frac{1}{2b} \right)
\end{equation}となります。
よって、PQの中点の軌跡は
\begin{equation}
y = \frac{1}{x}
\end{equation}です。