京大 2014年理系第3問 - 数式で独楽する

△ABCは、条件∠B=2∠A, BC=1を満たす三角形のうちで、面積が最大のものとする。このときcos∠Bを求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\angle \mathrm{A} = \theta
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\angle \mathrm{B} &=& 2\theta \\
\angle \mathrm{C} &=& \pi -3\theta \\
0 < & \theta & < \frac{\pi}{3}
\end{eqnarray}です。

正弦定理により、
正弦定理 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AB}}{\sin 3\theta} = \frac{\mathrm{BC}}{\sin \theta}
\end{equation}が成り立ちます。
$\mathrm{BC}=1$ なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AB} &=& \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta} \\
&=& \frac{3\sin \theta -4\sin^3 \theta}{\sin \theta} \\
&=& 3 -4\sin^2 \theta
\end{eqnarray}を得ます。

したがって、△ABCの面積 $S$ は、
\begin{eqnarray}
S &=& \frac{1}{2} \, \mathrm{AB \cdot BC} \sin 2\theta \\
&=& \frac{1}{2} (3 -4\sin^2 \theta) \sin 2\theta \\
&=& \frac{1}{2} (1 +2\cos 2\theta) \sin 2\theta
\end{eqnarray}となります。

ここで $\phi = 2\theta$ とすると、
\begin{equation}
0 < \phi < \frac{2}{3} \, \pi
\end{equation}で
\begin{equation}
S = \frac{1}{2} (1 +\cos \phi) \sin \phi
\end{equation}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
\frac{dS}{d\phi} &=& \frac{1}{2} \left \{ -2 \sin^2 \phi +(1 +2\cos \phi) \cos \phi \right \} \\
&=& \frac{1}{2} \left \{ -2(1 -\cos^2 \phi) +\cos \phi +2\cos^2 \phi \right \} \\
&=& \frac{1}{2} (4\cos^2 \phi +\cos \phi +2)
\end{eqnarray}です。
$\displaystyle -\frac{1}{2} < \phi < 1$ なので、 $\displaystyle \frac{dS}{d\phi} =0$ のとき、
\begin{equation}
\cos \phi = \frac{-1 +\sqrt{33}}{8}
\end{equation}となります。

このときの $\phi$ を $\alpha$ とすると、 $S$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \frac{2}{3} \pi \\ \hline
\frac{dS}{d\phi} && + & 0 & - && \\ \hline
S & 0 & \nearrow && \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}
$\theta=\alpha$ のとき $S$ は最大となります。