正弦定理

余弦定理
第1余弦定理 - 数式で独楽する
第2余弦定理 - 数式で独楽する
もあれば、正弦定理もあります。

「正弦定理」
三角形ABCの外接円の半径をとすると
\begin{eqnarray}
a &=& 2R \sin A \\
b &=& 2R \sin B \\
c &=& 2R \sin C \\
\frac{a}{\sin A} &=& \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\end{eqnarray}
ここで、およびは角A, B, Cの対辺の長さと角の大きさです。

まず、円周角の定理
円周角の定理 - 数式で独楽する
より、
\begin{equation}
\angle \mathrm{BOC} = 2A
\end{equation}です。

外接円の中心Oから辺BCに垂線を下ろすと合同な直角三角形に分割できます。
垂線の足をHとすると、
\begin{equation}
\mathrm{BH} = \mathrm{CH} = R \sin A
\end{equation}となります。

よって、
\begin{equation}
a = \mathrm{BH} + \mathrm{CH} = 2R \sin A \tag{1}
\end{equation}を得ます。

同様に、
\begin{eqnarray}
b &=& 2R \sin B \tag{2} \\
c &=& 2R \sin C \tag{3}
\end{eqnarray}です。

式(1)~(3)より、
\begin{equation}
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\end{equation}を得ます。