関数
の増減表をつくり、
のときの極限を求めよ。
解答例
導関数は、
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \frac{\sin x -x \cos x}{\sin^2 x} -\sin x \\
&=& \frac{\sin x (1 -\sin^2 x) -x \cos x}{\sin^2 x} \\
&=& \frac{\sin x \cos^2 x -x \cos x}{\sin^2 x} \\
&=& \frac{\cos x}{\sin^2 x} \left( \frac{1}{2} \, \sin 2x -x \right)
\end{eqnarray}です。
商の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
g(x) = \frac{1}{2} \, \sin 2x -x
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
g'(x) = \cos 2x -1 < 0 \quad (\because \ 0 < x < \pi)
\end{equation}なので、は単調減少です。
なので、
\begin{equation}
g(x) < 0
\end{equation}であることが分かります。
したがって、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & \pi/2 & \cdots & \pi \\ \hline
f'(x) && - & 0 & + \\ \hline
f(x) && \searrow & \pi/2 & \nearrow \\ \hline
\end{array}
のとき、
\begin{equation}
\frac{x}{\sin x} = \cfrac{1}{\ \cfrac{\sin x}{x} \ } \to 1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to +0} f(x) = 2
\end{equation}となります。
(sin x)/xの極限 - 数式で独楽する
のとき、
\begin{eqnarray}
\frac{x}{\sin x} &=& \frac{-\pi +x +\pi}{\sin (\pi -x)} \\
&=& -\frac{\pi -x}{\sin (\pi -x)} +\frac{\pi}{\sin (\pi -x)} \\
& \to & -1 +\infty \\
&=& \infty
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to \pi -0} f(x) = \infty
\end{equation}となります。
