京大 2006年前期 理系 第6問

として、関数をで定める。がの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

解答例

\begin{equation}
F'(\theta) = \theta \cos (\theta +\alpha)
\end{equation}なので、区間における関数の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \pi/2 -\alpha & \cdots & \pi/2 \\ \hline
F'(\theta) & 0 & + & 0 & - & \\ \hline
F(\theta) & 0 & \nearrow && \searrow & \\ \hline
\end{array}

したがって、最大値は次はようになります。
\begin{eqnarray}
F \left( \frac{\pi}{2} -\alpha \right) &=& \int_0^{\pi /2 -\alpha} x \cos (x +\alpha) \, dx \\
&=& \biggl[ \theta \sin (x +\alpha) \biggr]_0^{\pi /2 -\alpha} -\int_0^{\pi /2 -\alpha} \sin (x -\alpha) \, dx \\
&=& \frac{\pi}{2} -\alpha +\biggl[ \cos (x +\alpha) \biggr]_0^{\pi /2 -\alpha} \\
&=& \frac{\pi}{2} -\alpha -\cos \alpha
\end{eqnarray}

解説

導関数は容易に求めることができ、の増減もすぐ分かります。
最大値は、部分積分を駆使して求めます。
少し拍子抜けする問題です。