2022年 京大 理系 第5問

曲線、軸および軸で囲まれる図形の面積をとする。とし、上の点Qと原点O、およびP、Rを頂点とする長方形の面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。

(1) を求めよ。

(2) は最大値をただ1つのでとることを示せ。そのときのをとすると、であることを示せ。

(3) を示せ。

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
S &=& \int_0^{\pi/2} \cos^3 x \, dx \\
&=& \int_0^{\pi/2} (1 -\sin^2 x) \, \cos x \, dx \\
&=& \left[ \ \sin x -\frac{1}{3} \, \sin^3 x \ \right]_0^{\pi/2} \\
&=& 1 -\frac{1}{3} \\
&=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray}

小問(2)の解答例

\begin{equation}
f(t) = t \cos^3 t
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
f'(t) &=& \cos^3 t -3t \cos^2 t \sin t \\
&=& \cos^2 t (\cos t -3t \sin t)
\end{eqnarray}です。
\begin{equation}
g(t) = \cos t -3t \sin t
\end{equation}について、
\begin{eqnarray}
g'(t) &=& -\sin t -3 \sin t -3t \cos t \\
&=& -4\sin t -3t \cos t < 0
\end{eqnarray}なので、はで単調減少です。
\begin{eqnarray}
g(0) &=& 1 \\
g \left( \frac{\pi}{2} \right) &=& -\frac{3}{2} \, \pi
\end{eqnarray}なので、は同じ区間で1回だけ0になります。
また、なのでも同じ区間で1回だけ0となります。
このときのをとすると、の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
t & 0 & \cdots & \alpha & \cdots & \pi/2 \\ \hline
f'(t) & 1 & + & 0 & - & 0 \\ \hline
f(t) & 0 & \nearrow & f(\alpha) & \searrow & 0 \\ \hline
\end{array}
これより、の最大値はただ1つのすなわちでとることが示されました。

また、このとき
\begin{equation}
f'(\alpha) = \cos^2 \alpha (\cos \alpha -3\alpha \sin \alpha) = 0
\end{equation}より
\begin{equation}
\alpha = \frac{\cos \alpha}{3\sin \alpha}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
f(\alpha) = \alpha \cos^3 \alpha = \frac{\cos^4 \alpha}{3\sin \alpha}
\end{equation}を得ます。(証明終わり)

小問(3)の解答例

小問(2)の結果と
\begin{eqnarray}
f' \left( \frac{\pi}{6} \right) &=& \frac{3}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} \right) > 0 \\
f' \left( \frac{\pi}{4} \right) &=& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{3\pi}{4} \frac{1}{\sqrt{2}} \right) < 0
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{4}
\end{equation}です。

ここで、
\begin{equation}
h(t) = \frac{\cos^4 t}{3\sin t}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
h'(t) = \frac{-4\cos^3 t \sin^2 t -\cos^5 t}{3\sin t} < 0
\end{equation}なので、はで単調減少です。
したがって、
\begin{equation}
h \left( \frac{\pi}{6} \right) > h(\alpha) = f(\alpha)
\end{equation}となります。
\begin{equation}
h \left( \frac{\pi}{6} \right) = \cfrac{\cfrac{9}{16}}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{8} > f(\alpha)
\end{equation}なので、小問(1)の結果と合わせ、
\begin{equation}
\frac{f(\alpha)}{S} < \frac{9}{16}
\end{equation}を得ます。(証明終わり)

解説

小問(1)は単なる計算問題です。
小問(2)は導関数を出して増減を見ますが、正負の判定に工夫が必要です。
小問(3)は小問(1), (2)の結果を用いるのでしょうが、どう用いるのかが一目では分かりません。関数にいくつか値を入れてみると、目標の数値がひょっこり出て来ました。あとは大小を判定すればゴールはもうすぐです。