2019年、京大 文系 第3問 - 数式で独楽する
で触れた、実数を係数に持つ2次方程式
\begin{equation}
ax^2+bx+c=0 \tag{1}
\end{equation}の解について見ていきます。
大前提として、2次方程式なのでです。
本稿では、
2次方程式の解の公式と判別式 - 数式で独楽する
と異なる手法で解の公式を導出します。
2次方程式(1)の解をとすると、次のようにも書けます。
\begin{equation}
a(x - \alpha)(x - \beta) = 0 \tag{2}
\end{equation}
式(1), (2)より、次の恒等式が成り立ちます。なお、両辺をで割り、式(2)は展開しています。
\begin{equation}
x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a} = x^2 -(\alpha + \beta) \, x + \alpha \beta
\end{equation}
両辺の係数を比較して、
\begin{eqnarray}
\alpha + \beta &=& - \frac{b}{a} \tag{3} \\
\alpha \beta &=& \frac{c}{a} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。
ここまでは、解と係数の関係です。
解と係数の関係 - 数式で独楽する
式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
(\alpha -\beta)^2 &=& \alpha^2 -2\alpha \beta +\beta^2 \\
&=& (\alpha +\beta)^2 -4\alpha \beta \\
&=& \frac{b^2}{a^2} -\frac{4c}{a} \\
&=& \frac{b^2 -4ac}{a^2}
\end{eqnarray}を得ます。これより、
\begin{equation}
\alpha -\beta = \pm \frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{a} \tag{5}
\end{equation}となります。
式(3), (5)より、
\begin{eqnarray}
\alpha &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} \\
\beta &=& \frac{-b \mp \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{eqnarray}を得ます。複号は同順ですが、どちらを採っても解は
\begin{equation}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}
\end{equation}となります。
