東大2021年理科第5問 - 数式で独楽する

$\alpha$ を正の実数とする。 $0 \leqq \theta \leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ を座標平面上の2点A $(-\alpha, -3)$ , P $(\theta +\sin \theta, \cos \theta)$ 間の距離の2乗として定める。
(1) $0 < \theta < \pi$ の範囲に $f'(\theta) =0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することを示せ。
(2) 以下が成り立つような $\alpha$ の範囲を求めよ。
$0 \leqq \theta \leqq \pi$ における $\theta$ の関数 $f(\theta)$ は、区間 $0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$ のある点において最大となる。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

\begin{eqnarray}
f(\theta) &=& (\theta + \sin \theta + \alpha)^2 +(\cos \theta +3)^2 \\
&=& (\theta +\alpha)^2 +2(\theta +\alpha) \sin \theta +\sin^2 \theta +\cos^2 \theta +6\cos \theta +9 \\
&=& (\theta +\alpha)^2 +2(\theta +\alpha) \sin \theta +6\cos \theta +10 \\
\\
f'(\theta) &=& 2(\theta +\alpha) +2\sin \theta +2(\theta +\alpha) \cos \theta -6\sin \theta \\
&=& 2(\theta +\alpha)(1 +\cos \theta) -4\sin \theta \\
\\
f''(\theta) &=& 2(1 +\cos \theta) -2(\theta +\alpha) \sin \theta -4\cos \theta \\
&=& 2 -2\cos \theta -2(\theta +\alpha) \sin \theta \\
\\
f'''(\theta) &=& 2\sin \theta -2\sin \theta -2(\theta +\alpha) \\
&=& -2(\theta +\alpha) \cos \theta
\end{eqnarray}

$\theta +\alpha > 0$ なので、 $f''(\theta)$ の増減は、次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \pi/2 & \cdots & \pi \\ \hline
f'''(\theta) && - & 0 & + & \\ \hline
f''(\theta) & 0 & \searrow && \nearrow & 4 \\ \hline
\end{array}
これより、 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ で $f''(\theta)=0$ となることが分かります。このときの $\theta$ の値を $\beta$ とします。

$f'(\theta)$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \pi/2 & \cdots & \beta & \cdots & \pi \\ \hline
f''(\theta) && - && - & 0 & + & \\ \hline
f'(\theta) & 4\alpha & \searrow & \pi +2\alpha -4 & \searrow && \nearrow & 0 \\ \hline
\end{array}
正の値から減少し、増加に転じてから0になっています。
関数 $f'(\theta)$ は $0 < \theta < \pi$ の範囲に $f'(\theta)=0$ となる $\theta$ がただ1つ存在することが示されました。

小問(2)の解答例

小問(1)の結果により、
\begin{equation}
f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi +2\alpha -4 < 0
\end{equation}とすれば、 $f'(\theta)$ は $0 < \theta < \displaystyle \frac{\pi}{2}$ の範囲で $f'(\theta)=0$ となります。
このときの $\theta$ の値を $\gamma$ とすると、関数 $f(\theta)$ の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
\theta & 0 & \cdots & \gamma & \cdots \pi/2 \\ \hline
f'(\theta) && + & 0 & - & \\ \hline
f(\theta) && \nearrow && \searrow & \\ \hline
\end{array}