2022年京大理系第3問 - 数式で独楽する

$n$ を自然数とする。3つの整数 $n^2 +2, \ n^4 +2, \ n^6 +2$ の最大公約数 $A_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
n^4 +2 &=& (n^2 +2)(n^2 -2) +6 \tag{1} \\
n^6 +2 &=& (n^2 +2)(n^4 -2n^2 +4) -6 \tag{2}
\end{eqnarray}なので、最大公約数は
\begin{equation}
A_n = 1,2,3,6
\end{equation}のいずれかです。

$n, \ n^2 +2, \ n^2 -2, \ n^4 -2n^2 +4$ を2で割った余りで分類すると次のようになります。
\begin{array}{c|ccc}
\hline
n & n^2 +2 & n^2 -2 & n^4 -2n^2 +4 \\ \hline
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
\end{array}つまり、 $n$ が

偶数の場合、 $A_n$ は2を素因数に持つ
奇数の場合、 $A_n$ は2を素因数に持たない

ことになります。

同様に、3で割った余りで分類すると、次の通りです。
\begin{array}{c|ccc}
\hline
n & n^2 +2 & n^2 -2 & n^4 -2n^2 +4 \\ \hline
0 & 2 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 2 & 1 \\ \hline
\end{array}つまり、 $n$ が3で

割り切れる場合、 $A_n$ は3を素因数に持たない
割り切れない場合、 $A_n$ は3を素因数に持つ

ことになります。

以上より、最大公約数 $A_n$ は、 $n$ に対して次のようになります。表中、 $k$ は自然数です。
\begin{array}{c|c}
\hline
n & A_n \\ \hline
6k -5 & 3 \\
6k -4 & 6 \\
6k -3 & 1 \\
6k -2 & 6 \\
6k -1 & 3 \\
6k & 2 \\ \hline
\end{array}