2022年京大理系第1問 - 数式で独楽する

$5.4 < \log_4 2022 < 5.5$ であることを示せ。ただし、 $0.391 < \log_{10} 2 < 0.3011$ であることは用いてよい。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\log_4 2022 = \frac{\log_{10} 2022}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10} 2022}{2 \log_{10} 2} \tag{1}
\end{equation}です。

また、
\begin{equation}
2 \times 10^3 < 2022 < 2^{11}
\end{equation}より、
\begin{equation}
3 +\log_{10} 2 < \log_{10} 2022 < 11 \log_{10} 2 \tag{2}
\end{equation}を得ます。

式(2)の中辺と右辺は
\begin{equation}
\frac{\log_{10} 2022}{2\log_{10} 2} < 5.5 \tag{3}
\end{equation}となります。

左辺と中辺は、
\begin{equation}
\frac{3}{2\log_{10} 2} +0.5 < \frac{\log_{10} 2022}{2\log_{10} 2}
\end{equation}となります。
\begin{equation}
0.3011 > \log_{10} 2 > 0.301
\end{equation}より
\begin{equation}
4.981 \cdots < \frac{3}{2\log_{10} 2} < 4.983 \cdots
\end{equation}となり、
\begin{equation}
5.481 \cdots < \frac{3}{2\log_{10} 2} +0.5 < 5.483 \cdots
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{equation}
5.4 < \frac{3}{2\log_{10} 2} +0.5 < \frac{\log_{10} 2022}{2\log_{10} 2} \tag{4}
\end{equation}であることが分かります。

式(1), (3), (4)より、
\begin{equation}
5.4 < \log_{4} 2022 <5.5
\end{equation}であることが示されます。