コインを
回投げて複素数
を次のように定める。
このとき、(i) 1回目に表が出れば
とし、裏が出れば
とする。
(ii)
のとき、
回目に表が出れば
とし、裏が出れば
とする。ただし、
は
の共役複素数である。
となる確率を求めよ。
解答例
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2} \tag{1}
\end{equation}とします。数は、
\begin{eqnarray}
\omega^2 + \omega +1 &=&0 \\
\omega^3 &=& 1 \tag{2} \\
\overline{\omega} &=& \omega^2 \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
つまり、条件(i), (ii)により、は
\begin{equation}
z_k = 1, \, \omega, \, \omega^2
\end{equation}のいずれかとなります。
式(2), (3)を踏まえると、から
への遷移は次のようになります。
\begin{array}{|c|cc|}
\hline
z_k & 表 & 裏 \\ \hline
1 & \omega & 1 \\
\omega & \omega^2 & \omega^2 \\
\omega^2 & 1 & \omega \\ \hline
\end{array}
したがって、となる確率を
と表記すると、次の関係が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
P(z_1=1) &=& \frac{1}{2} \tag{4} \\
P(z_1=\omega) &=& \frac{1}{2} \tag{5} \\
P(z_1=\omega^2) &=& 0 \tag{6} \\
P(z_{k+1}=1) &=& \frac{1}{2} \left( P(z_k=1) + P(z_k=\omega^2) \right) \tag{7} \\
P(z_{k+1}=\omega) &=& \frac{1}{2} \left( P(z_k=1) + P(z_k =\omega^2) \right) \tag{8} \\
P(z_{k+1}=\omega^2) &=& P(z_k=\omega) \tag{9}
\end{eqnarray}
式(7)~(9)より、
\begin{eqnarray}
P(z_{k+1}=1) &=& \frac{1}{2} \, P(z_k=1) + \frac{1}{2} \, P(z_k=\omega^2) \tag{7} \\
P(z_{k+1}=\omega^2) &=& \frac{1}{2} \, P(z_{k -1}=1) + \frac{1}{2} \, P(z_{k -1}=\omega^2) \tag{10}
\end{eqnarray}を得ます。
