袋の中に$N$個の白玉と3個の赤玉がある。「袋の中の$(N+3)$個の玉から無作為に1個を取り出し、次に外部にある白玉を1個袋に入れる」という試行をくり返す。$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率を
とする。また、$n$回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が$i$個$(i=1,2,3)$あり、かつ$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率を
とする。従って
である。
(1)
を
で表す式(漸化式)を求めよ。
(2)を
方針
「$n$回目の試行を行う前、袋の中に赤玉が$i$個$(i=1,2,3)$あり、かつ$n$回目の試行で赤玉を取り出す確率」というのがややこしいです。誘導で書かれている文言は確かにその通りなのですが、$P_{i,n+1}$を単純に$P_{i,n}$で表す道筋が見当たらないのがつらいところです。
$n$回目の開始時点で赤玉が$i$個残っている状況をどう表現するかが、本問の鍵になりそうです。
小問(1)の解答例
$n$回目の試行を開始する時点で赤玉が$i$個残っている確率を$Q_{i,n}$とします。
\begin{eqnarray}
P_{3,n} &=& \frac{3}{N+3} \, Q_{3,n} \\
P_{2,n} &=& \frac{2}{N+3} \, Q_{2,n} \\
P_{1,n} &=& \frac{1}{N+3} \, Q_{1,n}
\end{eqnarray}です。
(ポイント)
「$n$回目の開始時点で$i$個残っている」と「$n$回目で赤玉を引く」を区別しておくと考え易いでしょう。
(i) i=3の場合
$n, \ n+1$回目の開始時点で赤玉が3個残っている確率を考えます。
それぞれ白玉を$n -1, \ n$回連続で取り出しているので、
\begin{eqnarray}
Q_{3,n} &=& \left( \frac{N}{N +3} \right)^{n -1} \\
Q_{3,n+1} &=& \left( \frac{N}{N +3} \right)^n
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
P_{3,n} &=& \frac{3}{N+3} \left( \frac{N}{N +3} \right)^{n -1} \\
P_{3,n+1} &=& \frac{3}{N+3} \left( \frac{N}{N +3} \right)^n
\end{eqnarray}です。
よって、
\begin{equation}
P_{3,n+1} = \frac{N}{N+3} \, P_{3,n} \tag{1.1}
\end{equation}を得ます。
(ポイント)
赤玉が3個残っている状況は、それまで赤玉を取り出していないということなので、考え易いです。
(ii) i=2の場合
$n, \ n+1$回目の開始時点で赤玉が2個残っている確率を考えます。
それまでの試行で1回のみ赤玉を取り出しているということです。
その1回がいつなのかを考慮する必要があります。
$k$回目で赤玉を取り出し、かつ$n, \ n+1$回目で赤玉を2個残っている確率は次のようになります。*1
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
k & n & n+1 \\ \hline \hline
1 & P_{3,1} \left( \frac{N+1}{N+3} \right)^{n -2} & P_{3,1} \left( \frac{N+1}{N+3} \right)^{n -1} \\
2 & P_{3,2} \left (\frac{N+1}{N+3} \right)^{n -3} & P_{3,2} \left( \frac{N+1}{N+3} \right)^{n -2} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
n -2 & P_{3,n -2} \, \frac{N+1}{N+3} & P_{3,n -2} \left( \frac{N+1}{N+3} \right)^2 \\
n -1 & P_{3,n -1} & P_{3,n -1} \, \frac{N+1}{N+3} \\
n & - & P_{3,n} \\ \hline
\mbox{合計} & Q_{2,n} & Q_{2,n+1} \\ \hline
\end{array}
ここで、
\begin{eqnarray}
P_{2,n} &=& \frac{2}{N+3} \, Q_{2,n} \\
P_{2,n+1} &=& \frac{2}{N+3} \, Q_{2,n+1}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
P_{2,n+1} = \frac{2}{N+3} \, P_{3,n} + \frac{N+1}{N+3} \, P_{2,n} \tag{1.2}
\end{equation}を得ます。
(iii) i=1の場合
小問(2)の解答例
*1:$k+1$回目以降は、赤玉が2個、白玉が$N+1$個になっています。
