京大 2011年 理系 第5問

空間で、原点Oを中心とする半径の球面と3点(4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4)を通る平面が共有点を持つことを示し、点がその共有点全体の集合を動くとき、積の取り得る値の範囲を求めよ。

解答例

3点(4, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 4)を通る平面の式は、
\begin{equation}
x +y +z = 4 \tag{1}
\end{equation}です。
単位法線ベクトルは
\begin{equation}
\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} (1,1,1)
\end{equation}です。
原点を通る法線の式は、
\begin{equation}
(x,y,z) = \frac{k}{\sqrt{3}} (1,1,1)
\end{equation}です。

法線上の点が平面上にあるので、
\begin{equation}
\frac{k}{\sqrt{3}} (1 +1 +1) = 4
\end{equation}を満たします。
これより、
\begin{equation}
k = \frac{4}{3} \, \sqrt{3}
\end{equation}を得ます。

よって原点Oと平面の距離は
\begin{equation}
d = |k| = \frac{4}{3} \, \sqrt{3}
\end{equation}となります。

\begin{equation}
d < \sqrt{6}
\end{equation}なので、球面と平面は共有点を持つことが示されました。

さて、点が平面と球面の共有点を動くときの、の拘束条件を考えていきます。
式(1)より、
\begin{eqnarray}
(x +y +z)^2 &=& 16 \\
x^2 +y^2 +z^2 +2(yz +zx +xy) &=& 16
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{equation}
x^2 +y^2 +z^2 = 6
\end{equation}でもあるので、
\begin{equation}
yz +zx +xy = 5 \tag{2}
\end{equation}となります。

さて、このは、
\begin{eqnarray}
(s -x)(s -y)(s -z) &=& 0 \\
s^3 -(x +y +z)s^2 +(yz +zx +xy)s -xyz &=& 0
\end{eqnarray}の解でもあります。式(1), (2)を代入すると、
\begin{equation}
s^3 -4s^2 +5s -xyz = 0 \tag{3}
\end{equation}の解ということになります。
式(3)が2つ以上の実数解を持つ条件を求めればよいことになります。

\begin{equation}
f(s) = s^3 -4s^2 +5s
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
f'(s) &=& 3s^2 -8s +5 \\
&=& (3s -5)(s -1)
\end{eqnarray}です。
の増減は、次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
s & \cdots & 1 & \cdots & \frac{5}{3} & \cdots \\ \hline
f'(s) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
f(s) & \nearrow & 2 & \searrow & \frac{50}{27} & \nearrow \\ \hline
\end{array}
平面におけるのグラフは次のようになります。

この曲線にを重ねて描き、共有点が2つ以上となる範囲が、求める範囲となります。すなわち、
\begin{equation}
\frac{50}{27} \leqq xyz \leqq 2
\end{equation}となります。

解説

平面までの距離が球面の半径以下であれば、平面と球面は共有点を持ちます。

後半は、
\begin{eqnarray}
x +y +z &=& 4 \\
x^2 +y^2 +z^2 &=& 6
\end{eqnarray}なる拘束条件からのとり得る範囲を求めることになります。やり方はいろいろあると思いますが、本稿のやり方が有効です。
「魔法の杖」は滅多にありませんが、本問は珍しい例です。