2003年後期京大文系第5問(1) - 数式で独楽する

$n$ を2以上の自然数とする。複素数 $z$ が $z \ne 1 , \ z^n = 1$ をみたすとき、 $1 +2z +3z^2 +\cdots +nz^{n -1}$ は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか。根拠を示して1つ選べ。
(ア) 0

(イ) $n(z +1)$
(ウ) $n(z -1)$
(エ) $\displaystyle \frac{n}{z -1}$
(オ) $\displaystyle \frac{n}{(z -1)^2}$
(カ) $\displaystyle -\frac{2n}{(z -1)^2}$
(キ) $1 -z -n$

解答例
解説

解答例

$x \ne 1$ に対し、
\begin{equation}
f(x) = 1 +x +x^2 +\cdots +x^n = \frac{x^{n +1} -1}{x -1}
\end{equation}を定めます。
等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する

導関数は
\begin{eqnarray}
f'(x) &=& 1 +2x +3x^2 +\cdots +nx^{n -1} \\
&=& \frac{(n +1)x^n (x -1) -(x^{n -1} -1)}{(x -1)^2} \\
&=& \frac{nx^{n +1} -(n +1)x^n +1}{(x -1)^2}
\end{eqnarray}です。
商の微分 - 数式で独楽する

$z^n = 1, \ z \ne 1$ のとき、
\begin{eqnarray}
f'(z) &=& 1 +2z +3z^2 +\cdots +nz^{n -1} \\
&=& \frac{nz^{n +1} -(n +1)z^n +1}{(z -1)^2} \\
&=& \frac{nz -n}{(z -1)^2} \\
&=& \frac{n}{z -1}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、解答は(エ)です。

2003年後期京大文系第5問(2) - 数式で独楽する

解説

件の式は、等比数列の和を公比で微分したものです。
そのことに気が付けば易しい問題です。