等比数列の和と等比級数 - 数式で独楽する

等比数列の和

比が一定の数列を、等比数列といいます。
等比数列において、この一定の比のことを公比といいます。
初項 $a$ 、公比 $r$ の等比数列 $\{ a_n\}$ の一般項(第 $n$ 項)は、
\begin{equation}
a_n=ar^{n-1}
\end{equation}と表せます。
なお、 $r=1$ の場合は定数の数列となるので、この記事では考慮しません。

この数列の、第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めてみましょう。
式で書くと、
\begin{equation}
S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n
\end{equation}です。
各項を書き換えます。
\begin{equation}
S_n=a+ar+\cdots +ar^{n-1}
\end{equation}となります。

おもむろに、両辺に公比 $r$ を掛けてみます。
\begin{equation}
rS_n=ar+ar^2+\cdots +ar^n
\end{equation}

揃えて書いてみます。
\begin{eqnarray}
S_n &=& a &+& ar &+& ar^2 &+& \cdots &+& ar^{n-1} && \\
rS_n &=& && ar &+& ar^2 &+& \cdots &+& ar^{n-1} &+&ar^n
\end{eqnarray}

両辺をそれぞれ引き算します。
上の式の初項、下の式の最後の項を残して、あとは相殺されます。
\begin{equation}
(1-r)S_n=a(1-r^n)
\end{equation}

ここで $r \neq 1$ なので、両辺を $1-r$ で割ることができます。
ゆえに、
\begin{equation}
S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{equation}となります。

さて、ここで $n \to \infty$ とした極限を考えます。
すなわち、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} S_n &=& \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\\
&=& a+ar+ar^2+\cdots \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{eqnarray}
を考えます。
これを等比級数といいます。
$|r|<1$ のとき、この等比級数は収束することが分かります。
この収束値を等比級数の和といいます。
和を $S$ とすると、
\begin{eqnarray}
S &=& \lim_{n \to \infty} S_n \\
&=& \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\\
&=& a+ar+ar^2+\cdots \\
&=& \lim_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\
&=& \frac{a}{1-r}
\end{eqnarray}
となります。

なお、級数とは、数列の無限項の和のことをいい、
\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+ \cdots
\end{equation}などと表します。