$n$が正の整数または0のとき
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left \{ \begin{array}{cl}
2L & (n=0) \\
0 & (n=1,2, \cdots)
\end{array} \right. \\
\int_{-L}^L \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& 0
\end{eqnarray}が成り立ちます。
三角関数の定積分 - 数式で独楽する
$m,n$が正の整数ならば、
\begin{eqnarray}
\int_{-L}^L \sin \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& 0 \\
\int_{-L}^L \cos \frac{m \pi x}{L} \, \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left \{ \begin{array}{ll}
L & (m=n) \\
0 & (m \ne n)
\end{array} \right.\\
\int_{-L}^L \sin \frac{m \pi x}{L} \, \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx &=& \left \{ \begin{array}{ll}
L & (m=n) \\
0 & (m \ne n)
\end{array} \right.
\end{eqnarray}が成り立ちます。
三角関数の積の定積分 その1 - 数式で独楽する
三角関数の積の定積分 その2 - 数式で独楽する
三角関数の積の定積分 その3 - 数式で独楽する
