2002年後期京大理系第5問その1

数列 $\{ a_n \} , \ \{ b_n\}$ を $a_1 = 3, \ b_1 = 2$
\begin{equation}
a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1)
\end{equation}で定める。
(1) ${a_n}^2 -2{b_n}^2$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(1)の解説
小問(2)の解答例

小問(1)の解答例

与えられた漸化式より、
\begin{eqnarray}
a_{n +1} +\sqrt{2} \, b_{n +1} &=& {a_n}^2 +2\sqrt{2} \, a_n \, b_n +2{b_n}^2 \\
&=& \left( a_n +\sqrt{2} \, b_n \right)^2 \\
\\
a_{n +1} -\sqrt{2} \, b_{n +1} &=& {a_n}^2 -2\sqrt{2} \, a_n \, b_n +2{b_n}^2 \\
&=& \left (a_n -\sqrt{2} \, b_n \right)^2
\end{eqnarray}なる関係を作ります。

これより、
\begin{eqnarray}
a_n +\sqrt{2} \, b_n &=& \left( a_{n -1} +\sqrt{2} b_{n -1} \right)^2 \\
& \vdots & \\
&=& \left( a_1 +\sqrt{2} \, b_1 \right)^{2(n -1)} \\
&=& \left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \\
\\
a_n -\sqrt{2} \, b_n &=& \left( a_{n -1} -\sqrt{2} b_{n -1} \right)^2 \\
& \vdots & \\
&=& \left( a_1 -\sqrt{2} \, b_1 \right)^{2(n -1)} \\
&=& \left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}
\end{eqnarray}となります。

よって、
\begin{eqnarray}
{a_n}^2 -2{b_n}^2 &=& \left( a_n +\sqrt{2} \, b_n \right) \left( a_n -\sqrt{2} \, b_n \right) \\
&=& \left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \\
&=& (9 -8)^{2(n -1)} \\
&=& 1
\end{eqnarray}を得ます。