代表的な角度の三角比を求めていきます。
このページでは、15ºと75ºの三角比を求めてみます。
30ºの半分です。
三角比15ºと75º - 数式で独楽する
では幾何的に求めました。
半角の公式から求めることもできます。
半角の公式 - 数式で独楽する
15°の三角比
正弦
\begin{eqnarray}
\sin^2 15^\circ &=& \frac{1 -\cos 30^\circ}{2} \\
&=& \cfrac{\ 1 -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \ }{2} \\
&=& \frac{2 -\sqrt{3}}{4}
\end{eqnarray}したがって、
\begin{eqnarray}
\sin 15^\circ &=& \frac{\sqrt{2 -\sqrt{3} \ }}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{8 -2\sqrt{12} \ }}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}です。
二重根号 - 数式で独楽する
余弦
\begin{eqnarray}
\cos^2 15^\circ &=& \frac{1 +\cos 30^\circ}{2} \\
&=& \cfrac{\ 1 +\cfrac{\sqrt{3}}{2} \ }{2} \\
&=& \frac{2 +\sqrt{3}}{4}
\end{eqnarray}したがって、
\begin{eqnarray}
\cos 15^\circ &=& \frac{\sqrt{2 +\sqrt{3} \ }}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{8 +2\sqrt{12} \ }}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}です。
正接
\begin{eqnarray}
\tan 15^\circ &=& \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} \\
&=& \cfrac{\ \cfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4} \ }{\cfrac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}} \\
&=& \frac{\sqrt{3} -1}{\sqrt{3} +1} \\
&=& \frac{\left( \sqrt{3} -1 \right)^2}{\left( \sqrt{3} +1 \right) \left( \sqrt{3} -1 \right)} \\
&=& \frac{4 -2\sqrt{3}}{2} \\
&=& 2 -\sqrt{3}
\end{eqnarray}
75°の三角比
余角の三角比より求めます。
余角の三角比 - 数式で独楽する
正弦
\begin{equation}
\sin 75^\circ = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}
\end{equation}
余弦
\begin{equation}
\cos 75^\circ = \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}
\end{equation}
正接
\begin{eqnarray}
\tan 75^\circ &=& \frac{1}{\tan 15^\circ} \\
&=& \frac{1}{2 -\sqrt{3}} \\
&=& 2 +\sqrt{3}
\end{eqnarray}
