数式で独楽する

数式を使って楽しむブログです

ゼロのゼロ乗

極限指数

ゼロのゼロ乗について考えていきます。
結論を先に述べると、「定義不能」です。

考え方は、実数 $x,y$ で定義する関数
\begin{equation}
f(x,y) = x^y
\end{equation}で $(x,y) \to (0,0)$ としたときの極限を考えるというものです。
$(x.y)$ をどのように(0, 0)に近付けても同じ値になれば、 $f(x,y) = x^y$ の極限が存在するということができ、0の0乗を定義できます。

$x=0$ で $y \to 0$ とする場合

\begin{equation}
0^y = 0
\end{equation}なので、言うまでもなく
\begin{equation}
\lim_{y \to 0} 0^y = 0
\end{equation}です。

$y = 0$ で $x \to 0$ とする場合

\begin{equation}
x^0 = 1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to 0} x^0 = 1
\end{equation}です。

$y = x$ として $x \to 0$ とする場合

\begin{equation}
\lim_{x \to 0} x^x = 1
\end{equation}です。
x^xの極限 - 数式で独楽する

まとめ

以上、 $(x,y) \to (0,0)$ の近付け方で値が異なるため、極限が定められなくなります。

なお、 $z = x^y$ を図にすると、次のようになります。
関数を定義できない $(x,y) = (0,0)$ の所、つまり $z$ 軸で断崖絶壁ができているのが見えます。

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