x^n/e^xの極限 - 数式で独楽する

本稿では、 $y = e^x$ は $y = x^n$ よりも強いことを見ていきます。 $n$ は負でない整数です。つまり、

\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0
\end{equation}

であることを示します。

まず、補題により $x > 0$ のとき
\begin{equation}
f_{n +1} (x) = e^x -\frac{x^{n +1}}{(n +1)!}
\end{equation}が成り立ちます。
補題 : 指数関数－べき乗 - 数式で独楽する

これより、
\begin{equation}
0 \leqq \frac{x^n}{e^x} < \cfrac{x^n}{\ \cfrac{x^{n +1}}{(n +1)!} \ } = \frac{(n +1)!}{x}
\end{equation}となります。

ここで、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{(n +1)!}{x} = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0
\end{equation}となります。
関数の極限はさみうちの原理 - 数式で独楽する

$y = e^x$ は、 $y = x^n$ よりも強いのです。