本稿では、指数関数とべき乗(冪乗、巾乗)の強弱について見ていきます。
つまり、極限
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x}
\end{equation}がどうなるかを見ていきます。
定数が相手の場合
言うまでもなく
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0
\end{equation}です。
1次関数が相手の場合
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0
\end{equation}
x/e^xの極限 - 数式で独楽する
一般的な整式が相手の場合
自然数に対し
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0
\end{equation}
x^n/e^xの極限 - 数式で独楽する
実数乗が相手の場合
実数に対し
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \frac{x^r}{e^x} = 0
\end{equation}
x^n/e^xの極限 - 数式で独楽する
まとめ
指数関数は、いかなるべき乗関数よりも強く発散することが分かります。
指数関数のマクローリン展開
\begin{equation}
e^x = 1 +\frac{x}{1!} +\frac{x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!} +\cdots
\end{equation}を知ると当たり前の話となり、証明方法を忘れがちになってしまいます。
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
補題
負でない整数に対し、
のとき
\begin{equation}
f_n (x) = e^x -\frac{x^n}{n!}
\end{equation}
補題 : 指数関数－べき乗 - 数式で独楽する
